Mathematik: TI-Nspire CAS am iPad (Teil3)

Beispiel 3 (8. Schulstufe):

Thema: "Gleichungssysteme - Bewegungsaufgaben" 

Vorbemerkung:

Die verfügbaren elektronischen Werkzeuge eröffnen eine neue Dimension der Schulmathematik, sodass eine Verschiebung von der Ausführung zur Planung von Problemlösungen stattfindet. Damit wird eine Schwerpunktverlagerung vom Operieren zum Nutzen von Grundwissen und zum Reflektieren möglich. Technologie zwingt also zur Reflexion über die „verwendete Mathematik“, weil über Ergebnisse nachgedacht wird, die man nicht selbst "berechnet" hat, und unterstützt so kontextbezogene Reflexion. Das untenstehende Beispiel zeigt auf, wie ein solche Reflexion über die verschiedenen Lösungsstrategien zu einem vertieften Verständnis führen kann.


Angabe:
Zwei Schüler beschließen auf dem selben Weg von Fürstenfeld nach Graz (Entfernung 60 km) zu fahren. Schüler 1 benutzt sein Fahrrad und weiß aus Erfahrung, dass er damit mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 18 km/h unterwegs ist. Schüler 2 fährt mit seinem Moped im Schnitt doppelt so schnell (also 36 km/h). Schüler 1 startet um 9:00 Uhr, Schüler 2 fährt um 10:30 los.

Aufgabe:
Wann und wo holt der zweite Schüler den ersten ein?


Lösung:
Wir arbeiten wieder ausschließlich mit dem Ti-Nspire App.


Zeit-Weg Tabelle:
Wir starten den "Lists & Spreadsheets" Modus in einem neuen Dokument und tragen in die Tabelle die Bewegungen der beiden Schüler ein, wobei wir den Zeitpunkt t=0 für 9:00 annehmen. In die Titelleiste den Spalte A kommt Zeit, in B Weg1 und in C Weg2. Relativ leicht finden sich wenigstens zwei Funktionswerte pro Funktion.

Lineare Regression:
Jetzt lässt man den Rechner arbeiten: Über Werkzeug-Statistik-Statistische Berechnungen wählt man lineare Regression(mx+b), es öffnet sich ein Fenster, das man entsprechen ausfüllt (siehe unten). Man bekommt zwei (fehlerlose) Regressionen, die der Rechner als f1 und f2 automatisch speichert. Die Funktionen beschreiben die Bewegungen der beiden Schüler.

Lösung:
Jetzt kann man das Beispiel leicht auf zwei Arten lösen:

1. Graphisch:
Man öffnet im selben Problem den Graph - Modus ("Hinzufügen"): Die beiden Funktionen  sind bereits vorhanden und müssen nur noch aktiviert werden (Eingabe drücken). Nachdem man die Fenstereinstellungen entsprechend bearbeitet hat, ergeben sich folgende Graphen:

Man analysiert die Graphen und kommt so zum Treffpunkt (Schnittpunkt) mit den gesuchten Koordinaten. Außerdem bekommt man leicht einen gesamten Überblick über die Bewegung unter Hinzunahme einer vollständigen Wertetabelle (Tabelle mit geteiltem Bildschirm):

2. Rechnerisch:
Hier öffnet man den Calculator - Modus und arbeiten mit dem CAS ("solve"). Die beiden Funktionen sind wie oben bereits vorhanden.

Man setzt für den Treffpunkt beide Wege gleich und erhält den passenden Zeitpunkt - und nach einsetzten in eine Funktion den zurückgelegten Weg:

Mathematik: TI-Nspire-CAS am iPad (Teil2)

Beispiel 2 (10. Schulstufe):

Thema: Parametervariationen

Vorüberlegung:

Definition:

Ein Parameter ist eine besondere Variable. Er steht für eine reelle Zahl, die variiert werden kann. Durch Parameter lassen sich Funktionsterme allgemeiner darstellen und verändern.

Idee:

Aus Grundfunktionen erzeugt man mithilfe von Parametern neue Funktionen, so werden aus einer reellen Funktion f(x) durch den Einsatz von Parametern a,b,c,d ∈ ℝ neue

Funktionen:

g(x) = a. f(b.x +c) +d

Am TI-Nspire App:

Wir arbeiten im „Graph“ Modus: 

Durch die Eingabe einer Funktion mit einem Parameter z.B.: f1(x)=x² + d öffnet sich automatisch ein Fenster mit der Aufforderung „Schieber erstellen“, die man mit ok bestätigt. Darauf wird die Funktion samt Schieber für einen voreingestellten Parameter gezeigt.

Der Schieber:

Den Schieberegler kann man nun bearbeiten: Durch (langes) Antippen kann man „Einstellungen“ aufrufen. Es öffnet sich ein Fenster, das sehr einfach zu steuern ist. Besonderes Augenmerk ist auf die Schrittweite zu legen, die je nach Funktion nachzubearbeiten ist. Schließlich kann auch die Position des Schiebers verschoben und der Graph animiert werden - einfach ausprobieren!

Der Parameter d: 

g(x) = a. f(b.x + c) + d 

Zum Beispiel: Sei f(x) = x²

Aufgabe: Bilde mit dem Parameter d ∈ ℝ die Funktion g(x) = x² + d. Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters d ändert!

Lösung: Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung des Graphen von f in Richtung y- Achse. Für d > 0 wird der Graph nach oben, für
d < 0 nach unten verschoben!

Der Parameter c: 

g(x) = a. f(b.x + c) + d 

Zum Beispiel: Sei f(x) = x²

Aufgabe: Bilde mit dem Parameter c ∈ ℝ die Funktion g(x) = (x+c)². Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters c ändert!

Lösung: Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung des Graphen von f in Richtung x- Achse. Für c > 0 wird der Graph nach links, für

c < 0 nach rechts verschoben!

Der Parameter a: 

g(x) = a. f(b.x + c) + d

Zum Beispiel: Sei f(x) = sin(x)

Aufgabe: Bilde mit dem Parameter a ∈ ℝ die Funktion g(x) = a.sin(x). Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters a ändert!

Lösung: Der Parameter a bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen von f in Richtung y- Achse. Für a > 1 wird der Graph gestreckt, für 0 < a < 1 wird er gestaucht! Ist a negativ, so kommt zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse hinzu!

Der Parameter b: 

g(x) = a. f(b.x + c) + d

Zum Beispiel: Sei f(x) = sin(x)

Aufgabe: Bilde mit dem Parameter a ∈ ℝ die Funktion g(x) = sin(b.x). Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters b ändert!

Lösung: Der Parameter b bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen von f in Richtung x- Achse. Für b > 1 wird der Graph gestaucht, für 0 < b < 1 wird er gestreckt! Ist b negativ, so kommt zusätzlich eine Spiegelung an der y-Achse hinzu!