Beispiel 2 (10. Schulstufe):
Thema: Parametervariationen
Vorüberlegung:
Definition:
Ein Parameter ist eine besondere Variable. Er steht für eine reelle Zahl, die variiert werden kann. Durch Parameter lassen sich Funktionsterme allgemeiner darstellen und verändern.
Idee:
Aus Grundfunktionen erzeugt man mithilfe von Parametern neue Funktionen, so werden aus einer reellen Funktion f(x) durch den Einsatz von Parametern a,b,c,d ∈ ℝ neue
Funktionen:
g(x) = a. f(b.x +c) +d
Am TI-Nspire App:
Wir arbeiten im „Graph“ Modus:
Durch die Eingabe einer Funktion mit einem Parameter z.B.: f1(x)=x2 + d öffnet sich automatisch ein Fenster mit der Aufforderung „Schieber erstellen“, die man mit ok bestätigt. Darauf wird die Funktion samt Schieber für einen voreingestellten Parameter gezeigt.
Der Schieber:
Den Schieberegler kann man nun bearbeiten: Durch (langes) Antippen kann man „Einstellungen“ aufrufen. Es öffnet sich ein Fenster, das sehr einfach zu steuern ist. Besonderes Augenmerk ist auf die Schrittweite zu legen, die je nach Funktion nachzubearbeiten ist. Schließlich kann auch die Position des Schiebers verschoben und der Graph animiert werden - einfach ausprobieren!
Der Parameter d:
g(x) = a. f(b.x + c) + d
Zum Beispiel: Sei f(x) = x2
Aufgabe: Bilde mit dem Parameter d ∈ ℝ die Funktion g(x) = x2 + d. Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters d ändert!
Lösung: Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung des Graphen von f in Richtung y- Achse. Für d > 0 wird der Graph nach oben, für
d < 0 nach unten verschoben!
d < 0 nach unten verschoben!
Der Parameter c:
g(x) = a. f(b.x + c) + d
Zum Beispiel: Sei f(x) = x2
Aufgabe: Bilde mit dem Parameter c ∈ ℝ die Funktion g(x) = (x+c)2. Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters c ändert!
Lösung: Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung des Graphen von f in Richtung x- Achse. Für c > 0 wird der Graph nach links, für
c < 0 nach rechts verschoben!
Der Parameter a:
g(x) = a. f(b.x + c) + d
Zum Beispiel: Sei f(x) = sin(x)
Aufgabe: Bilde mit dem Parameter a ∈ ℝ die Funktion g(x) = a.sin(x). Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters a ändert!
Lösung: Der Parameter a bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen von f in Richtung y- Achse. Für a > 1 wird der Graph gestreckt, für 0 < a < 1 wird er gestaucht! Ist a negativ, so kommt zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse hinzu!
Der Parameter b:
g(x) = a. f(b.x + c) + d
Zum Beispiel: Sei f(x) = sin(x)
Aufgabe: Bilde mit dem Parameter a ∈ ℝ die Funktion g(x) = sin(b.x). Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters b ändert!
Lösung: Der Parameter b bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen von f in Richtung x- Achse. Für b > 1 wird der Graph gestaucht, für 0 < b < 1 wird er gestreckt! Ist b negativ, so kommt zusätzlich eine Spiegelung an der y-Achse hinzu!
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