Mathematik: TI-Nspire CAS am iPad (Teil3)

Beispiel 3 (8. Schulstufe):

Thema: "Gleichungssysteme - Bewegungsaufgaben" 

Vorbemerkung:

Die verfügbaren elektronischen Werkzeuge eröffnen eine neue Dimension der Schulmathematik, sodass eine Verschiebung von der Ausführung zur Planung von Problemlösungen stattfindet. Damit wird eine Schwerpunktverlagerung vom Operieren zum Nutzen von Grundwissen und zum Reflektieren möglich. Technologie zwingt also zur Reflexion über die „verwendete Mathematik“, weil über Ergebnisse nachgedacht wird, die man nicht selbst "berechnet" hat, und unterstützt so kontextbezogene Reflexion. Das untenstehende Beispiel zeigt auf, wie ein solche Reflexion über die verschiedenen Lösungsstrategien zu einem vertieften Verständnis führen kann.


Angabe:
Zwei Schüler beschließen auf dem selben Weg von Fürstenfeld nach Graz (Entfernung 60 km) zu fahren. Schüler 1 benutzt sein Fahrrad und weiß aus Erfahrung, dass er damit mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 18 km/h unterwegs ist. Schüler 2 fährt mit seinem Moped im Schnitt doppelt so schnell (also 36 km/h). Schüler 1 startet um 9:00 Uhr, Schüler 2 fährt um 10:30 los.

Aufgabe:
Wann und wo holt der zweite Schüler den ersten ein?


Lösung:
Wir arbeiten wieder ausschließlich mit dem Ti-Nspire App.


Zeit-Weg Tabelle:
Wir starten den "Lists & Spreadsheets" Modus in einem neuen Dokument und tragen in die Tabelle die Bewegungen der beiden Schüler ein, wobei wir den Zeitpunkt t=0 für 9:00 annehmen. In die Titelleiste den Spalte A kommt Zeit, in B Weg1 und in C Weg2. Relativ leicht finden sich wenigstens zwei Funktionswerte pro Funktion.

Lineare Regression:
Jetzt lässt man den Rechner arbeiten: Über Werkzeug-Statistik-Statistische Berechnungen wählt man lineare Regression(mx+b), es öffnet sich ein Fenster, das man entsprechen ausfüllt (siehe unten). Man bekommt zwei (fehlerlose) Regressionen, die der Rechner als f1 und f2 automatisch speichert. Die Funktionen beschreiben die Bewegungen der beiden Schüler.

Lösung:
Jetzt kann man das Beispiel leicht auf zwei Arten lösen:

1. Graphisch:
Man öffnet im selben Problem den Graph - Modus ("Hinzufügen"): Die beiden Funktionen  sind bereits vorhanden und müssen nur noch aktiviert werden (Eingabe drücken). Nachdem man die Fenstereinstellungen entsprechend bearbeitet hat, ergeben sich folgende Graphen:

Man analysiert die Graphen und kommt so zum Treffpunkt (Schnittpunkt) mit den gesuchten Koordinaten. Außerdem bekommt man leicht einen gesamten Überblick über die Bewegung unter Hinzunahme einer vollständigen Wertetabelle (Tabelle mit geteiltem Bildschirm):

2. Rechnerisch:
Hier öffnet man den Calculator - Modus und arbeiten mit dem CAS ("solve"). Die beiden Funktionen sind wie oben bereits vorhanden.

Man setzt für den Treffpunkt beide Wege gleich und erhält den passenden Zeitpunkt - und nach einsetzten in eine Funktion den zurückgelegten Weg:

Mathematik: TI-Nspire-CAS am iPad (Teil2)

Beispiel 2 (10. Schulstufe):

Thema: Parametervariationen

Vorüberlegung:

Definition:

Ein Parameter ist eine besondere Variable. Er steht für eine reelle Zahl, die variiert werden kann. Durch Parameter lassen sich Funktionsterme allgemeiner darstellen und verändern.

Idee:

Aus Grundfunktionen erzeugt man mithilfe von Parametern neue Funktionen, so werden aus einer reellen Funktion f(x) durch den Einsatz von Parametern a,b,c,d ∈ ℝ neue

Funktionen:

g(x) = a. f(b.x +c) +d

Am TI-Nspire App:

Wir arbeiten im „Graph“ Modus: 

Durch die Eingabe einer Funktion mit einem Parameter z.B.: f1(x)=x² + d öffnet sich automatisch ein Fenster mit der Aufforderung „Schieber erstellen“, die man mit ok bestätigt. Darauf wird die Funktion samt Schieber für einen voreingestellten Parameter gezeigt.

Der Schieber:

Den Schieberegler kann man nun bearbeiten: Durch (langes) Antippen kann man „Einstellungen“ aufrufen. Es öffnet sich ein Fenster, das sehr einfach zu steuern ist. Besonderes Augenmerk ist auf die Schrittweite zu legen, die je nach Funktion nachzubearbeiten ist. Schließlich kann auch die Position des Schiebers verschoben und der Graph animiert werden - einfach ausprobieren!

Der Parameter d: 

g(x) = a. f(b.x + c) + d 

Zum Beispiel: Sei f(x) = x²

Aufgabe: Bilde mit dem Parameter d ∈ ℝ die Funktion g(x) = x² + d. Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters d ändert!

Lösung: Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung des Graphen von f in Richtung y- Achse. Für d > 0 wird der Graph nach oben, für
d < 0 nach unten verschoben!

Der Parameter c: 

g(x) = a. f(b.x + c) + d 

Zum Beispiel: Sei f(x) = x²

Aufgabe: Bilde mit dem Parameter c ∈ ℝ die Funktion g(x) = (x+c)². Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters c ändert!

Lösung: Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung des Graphen von f in Richtung x- Achse. Für c > 0 wird der Graph nach links, für

c < 0 nach rechts verschoben!

Der Parameter a: 

g(x) = a. f(b.x + c) + d

Zum Beispiel: Sei f(x) = sin(x)

Aufgabe: Bilde mit dem Parameter a ∈ ℝ die Funktion g(x) = a.sin(x). Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters a ändert!

Lösung: Der Parameter a bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen von f in Richtung y- Achse. Für a > 1 wird der Graph gestreckt, für 0 < a < 1 wird er gestaucht! Ist a negativ, so kommt zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse hinzu!

Der Parameter b: 

g(x) = a. f(b.x + c) + d

Zum Beispiel: Sei f(x) = sin(x)

Aufgabe: Bilde mit dem Parameter a ∈ ℝ die Funktion g(x) = sin(b.x). Zeichne die Graphen und beschreibe, wie sich der Graph von g bei Variation des Parameters b ändert!

Lösung: Der Parameter b bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen von f in Richtung x- Achse. Für b > 1 wird der Graph gestaucht, für 0 < b < 1 wird er gestreckt! Ist b negativ, so kommt zusätzlich eine Spiegelung an der y-Achse hinzu!

Erkenntnisse von Notebookklassen auch für den Einsatz von iPads im Unterricht nutzen

Seit 1997 werden in verschiedenen Ländern Notebookklassen gebildet. Es gibt einige Studien dazu und auch Unterrichtsbeispiele. Viele dieser Erkenntnisse und Beispiele lassen sich auch für iPad-Klassen nutzen. Hier kann man den Überblicksartikel mit verschiedenen Links ansehen.

Eine umfassende Mind-Map gibt einen Überbllick über den Mehrwert von Notebookklassen, die man m. E. genauso für iPad-Klassen übernehmen kann.

Artikel Prof. Mayrberger: Kritische Betrachtung des Einsatzes von Tablets im Unterricht

Prof. Dr. phil. Kerstin Mayrberger, Universität Hamburg, Interdisziplinäres Zentrum für universitäres Lehren und Lernen (IZuLL) beschäftigt sich kritisch mit den didaktischen Potentialen, aber auch den Problemen und Herausforderungen beim Einsatz von Tablets im Unterricht. Hier kann man den Artikel lesen.

Das Fazit der Autorin deckt sich auch mit meinen Erfahrungen in den iPad-Klassen der FOS Friedberg, in denen jeder Schüler und jede Schülerin ein eigenes iPad besitzt (elternfinanziert) und in denen wir nun auch permanenten WLAN-Zugang haben. Sie schreibt:
"Zusammengenommen lässt sich ein didaktischer Mehrwert beim Lehren und Lernen mit mobilen Endgeräten wie Tablets oder Mobiltelefonen inklusive Smartphones in besonderer Weise mit Blick auf die drei Besonderheiten Mobilität, Situierung und Individualisierung von individuellen und gemeinsamen Lernprozessen in möglichst authentischen Kontexten herausstellen. Als ideale Rahmenbedingung hierfür braucht es einen ubiquitären, vernetzen Zugang zum Internet via relativ niedrigschwellig handhabbarer Geräte, die permanent am Start und 1:1 idealerweise personalisiert in der Hand der Schülerinnen und Schüler sind."

eBook von Frank Thissen: Mobiles Lernen in der Schule

Prof. Dr. Frank Thissen, Hochschule der Medien Stuttgart, forscht über das "Mobile Lernen in der Schule"

Auf seiner Website kann man mehr über seine Forschung erfahren: http://www.frank-thissen.de/web/index.php/de/mobiles-lernen/mobiles-lernen-in-der-schule 

Außerdem stellt er sein Buch in digitaler Form zum Download zur Verfügung

Im 3. Kapitel befindet sich eine Sammlung von 21 Unterrichtsbeispielen, in denen Lehrkräfte das iPad eingesetzt haben. 

Frank Thissen u.a. (2013): Mobiles Lernen in der Schule, erschienen 10.08.2015, 275 Seiten, 3. Auflage

PDF-Format (64 MB, nur Texte und Bilder)

iBook-Format (595 MB, mit Videos und Hyperlinks)

Mitschriften und Organisation von Dokumenten mit Good Notes

Good Notes ist an der Fachoberschule Friedberg DIE App, die von Lehrkräften und SchülerInnen am meisten eingesetzt wird. Sie dient  Lehrkräften als „Folienersatz“ (auch in Nicht-ipad-Klassen), SchülerInnen schreiben mit GoodNotes digital auf Arbeitsblättern im PDF-Format. Etwas gewöhnungsbedürftig, aber sehr hilfreich ist das Vergrößerungskästchen, sodass man genauer und kleiner schreiben kann.

Beispiel eines „digitalen Arbeitsblattes“ aus dem Wirtschaftsinformatik-Unterricht incl. Vergrößerungskästchen

Ein Vorteil von GoodNotes ist die Möglichkeit der Erstellung von „Arbeitsheften“ mit unterschiedlicher Lineatur, in die man alle Dokumente/Dateien in verschiedenen Formaten integrieren kann. Man kann Screenshots integrieren von z. B. der Hilfefunktion in Numbers und auf diesen Screenshot dann Wichtiges markieren. Auch Screenshots von Aufgaben  machen, z. B. in Numbers, diese zuschneiden, in das „Arbeitsheft“ von GoodNotes integrieren und sich dann dazu Notizen machen, sowohl handschriftlich als auch getippt. So haben SchülerInnen alle Dokumente in einem „digitalen Arbeitsheft“, der Reihe nach geordnet. Natürlich können auch Papierdokumente (z. B. Arbeitsblätter usw.) fotografiert und integriert werden. 

Beispiel eines Arbeitsheftes: 

 

Beispiele von Eintragungen in das Arbeitsheft 

1. Beispiel: Screenshot aus der Hilfe-Funktion von NUMBERS, anschließend handschriftlich bearbeiten

 

2. Beispiel: Screenshot einer Aufgabe in Numbers, handschriftliche Notizen zur Erläuterung der Formel

 

3. Beispiel: Übersicht über die verschiedenen Seiten des „digitalen Arbeitsheftes“